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Firma: Manuel Conthe

por Saviálogos | 31/05/2010

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Tres condenados a muerte (llamémosles A, B y C) esperan en una misma prisión la ejecución de la sentencia. Saben que uno de ellos (sólo uno) va a ser indultado de forma inminente, pero no saben quién. El carcelero recibe finalmente la notificación con el nombre del agraciado.  No puede todavía revelarlo, pero uno de los presos (pongamos, A) le apremia para que se lo diga. El carcelero se mantiene firme, pero, ante tanta insistencia, se limita a decirle que B será ajusticiado.
 
Tras esa confidencia, ¿deberá A mostrarse esperanzado y pensar que la probabilidad de ser indultado ha subido de 1/3 a 1/2?
 

El problema de los tres condenados (thre prisoners problem) fue enunciado en octubre de 1959 por Martin Gardner, célebre y prolífico autor de Matemática Recreativa que falleció el pasado 22 de mayo, a los 95 años, a quien he querido rendir homenaje en este blog rescatando este viejo problema (un profesor aragonés de matemáticas, Vicente Trigo, incluye en el apartado “varios artículos” de su interesante blog una amplia bibliografía de libros de Gardner en español).

 

El problema formulado por Martin Gardner es -como acertadamente señaló pronto Gaptick en su comentario-, una versión temprana de otro problema que alcanzó una popularidad extraordinaria en Estados Unidos a principios de los años 90: el dilema o paradoja de Monty Hall, así llamado en honor al presentador norteamericano que durante años presentó el programa televisivo “Hagamos un trato” (Let us make a deal).

 

En la versión hispana del problema que yo mismo formulé en ”Expansión” en “El dilema del ministrable“,  la clásica parejita de concursantes del programa ”Un, dos, tres…”, tras superar múltiples peripecias, lograr llegar hasta el final sin que todavía le haya salido el mejor premio: el apartamento en la playa (más de un lector de este blog verá aquí ya un inequívoco síntoma cultural de la burbuja inmobiliaria que todavía padecemos).

 
Llegados a esa fase final del concurso, el presentador, el ya fallecido Kiko Ledgard, siguiendo el ritual que sigue a rajatabla semana tras semana, les da a escoger entre tres puertas. Les dice que detrás de una está el premio -el apartamento-, pero que las otras dos están vacías.

 

Tras múltiples vacilaciones y consultas al público, la pareja elige finalmente una de ellas (para entendernos, llamémosla la 1). El presentado, que se ha leído el guión del programa y sabe perfectamente detrás de qué puerta está el regalo, siguiendo el ritual que aplica sin excepción todas las semanas, abre de par en par una de las dos puertas que quedan (llamémosla la 2) y…¡tachán, tachán!…¡está vacía!

 

Quedan, pues, sin abrir dos puertas: la elegida por los concursantes (1) y la restante (3). En ese momento de tensión, el presentador, como hace siempre, da a los concursantes la oportunidad de cambiar de puerta. La pregunta es:  

 
¿Deben los concursantes aceptar el ofrecimiento y cambiar de puerta?
 
Respuesta:
 
Sí.

 
El “problema de Monty Hall” lo planteó en septiembre de 1990 un tal Craig F.Whitaker, lector habitual de la sección Ask Marylin que la popular columnista americana Marylin Vos Savant tiene en Parade, una revista semanal que se distribuye como suplemento dominical de muchos periódicos americanos. El debate nació de la virulenta reacción de muchos lectores, incluidos varios matemáticos, a la respuesta que la columnista dio al problema, en la que recomendaba a los concursantes que cambiaran de puerta.

 

Los partidarios de no cambiar - que suelen ser mayoría-argumentan que, una vez que el presentador abre una de las tres puertas, quedan sólo dos puertas por abrir, de modo que la probabilidad de que el apartamento esté en cualquiera de ellas es del 50% (se trata, en el fondo, de aplicar la regla de Laplace: para calcular la probabilidad de un evento hay que dividir el número de casos favorables - en nuestro caso, una puerta, la del apartamento- entre el número de casos posibles -las dos puertas que quedan por abrir-). Así pues, gracias a que el presentador ha abierto una de las puertas, la probabilidad para los concursantes de haber acertado con su elección inicial ha pasado de 1/3 a 1/2. Pero eso es todo. Lo mismo da quedarse con la puerta inicial que con la que todavía queda libre: cambiar de puerta no aumentará la probabilidad de llevarse el apartamento.

 

Frente a este razonamiento, la señora Vos Savant argumentó que como el presentador sabe de antemano dónde está el apartamento, siempre podrá abrir una de las dos puertas restantes y mostrar que está vacía. Al abrir esa puerta el presentador -al igual que el carcelero de Martin Gardner- no está dando nueva información a los concursantes. Para éstos se trata, pues, de elegir entre quedarse con la puerta inicial -en cuyo caso conservarán una probabilidad de 1/3 de aceptar- u optar por el conjunto de las restantes puertas - que contienen el apartamento con probabilidad de 2/3-. Si cambian de puerta lograrán que su probabilidad de acierto pase de 1/3 a 2/3: vale la pena, pues, cambiar.

 
La columnista remachaba diciendo: si en vez de tres puertas fuera un millón y el presentador abriera absolutamente todas menos dos (incluida la elegida por los concursantes) ¿habría alguien sensato que insistiera en no cambiar, pensando que con ello su probabilidad de acierto era de 1/2?

 
En suma, lo racional resulta cambiar de puerta. Por el mismo motivo, si al condenado A le ofrecieran la posibilidad de cambiar su suerte por la del condenado C debiera  aceptar el trato, porque estaría multiplicando por 2 la probabildad de no resultar ajusticiado.
 
¿Por qué en la práctica la gente no quiere cambiar de puerta?
 
Una razón es la dificultad lógica de entender el razonamiento a favor del cambio. Pero puede existir un segundo factor que nos haga renuentes a cambiar: el “sesgo omisivo” (omission bias), esto es, nuestra especial aversión a que un resultado adverso sea consecuencia directa de nuestras acciones, aunque nuestra pasividad o inacción pueda provocar males mayores.
 
A ese fenómeno dedicaré una próxima entrada. Pero me pregunto si no ha tenido una manifestación muy reciente: ¿por qué los canónigos cordobeses dejaron que el Banco de España interviniera Cajasur, en vez de pactar con Unicaja una absorción menos traumática? ¿Fue acaso porque juzgaron moralmente más reprobable un daño (pérdida de empleos) que exigía su acuerdo expreso -la absorción por Unicaja- que otro mayor nacido de su mera omisión?
 
No conozco las entretelas del caso. Y si alguien las conoce, le agradecería que las exponga en el blog.


CATEGORIAS: Economía,

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